Question

【题目】已知圆 的方程为 ，直线 的方程为 ，点 在直线 上，过点 作圆 的切线 ，切点为 .
（1）若点 的坐标为 ，求切线 的方程；
（2）求四边形 面积的最小值；
（3）求证：经过 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解：①当切线斜率不存在时，切线方程为 ；
②当切线斜率存在时，设切线方程为 ，
因为直线和圆相切，所以圆心 到切线的距离 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
故答案为：所求切线方程为 或
（2）解：四边形 的面积 ，
所以当 最小时，四边形 的面积 最小.
又 的最小值是圆心 到直线 的距离，
即 .
故答案为：四边形 的面积最小值是 .
（3）证明：过 三点的圆即以 为直径的圆，

设点 ，则圆心坐标是 ，
以 为直径的圆的方程是 ，
化简，得 ，
即 .（*）
令 ，解得 或 .
由于不论 为何值，点 、 的坐标都适合方程（*），所以经过 三点的圆必过定点.
故答案为：定点坐标是 和 .
【解析】（1）利用圆心到直线的距离相等求切线方程，注意直线存在的情况；
（2）先将四边形的面积表示为|PM|的函数式，通过求|PM|的最值得到四边形面积的最值；
（3）将圆的方程表示为圆系方程的形式，求出圆过定点的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解点到直线的距离公式的相关知识，掌握点到直线的距离为：．