【题目】已知圆 的方程为
,直线
的方程为
,点
在直线
上,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)若点 的坐标为
,求切线
的方程;
(2)求四边形 面积的最小值;
(3)求证:经过 三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
【答案】
(1)解:①当切线斜率不存在时,切线方程为 ;
②当切线斜率存在时,设切线方程为 ,
因为直线和圆相切,所以圆心 到切线的距离
,解得
,
所以切线方程为 ,即
.
故答案为:所求切线方程为 或
(2)解:四边形 的面积
,
所以当 最小时,四边形
的面积
最小.
又 的最小值是圆心
到直线
的距离,
即 .
故答案为:四边形 的面积最小值是
.
(3)证明:过 三点的圆即以
为直径的圆,
设点 ,则圆心坐标是
,
以 为直径的圆的方程是
,
化简,得 ,
即 .(*)
令 ,解得
或
.
由于不论 为何值,点
、
的坐标都适合方程(*),所以经过
三点的圆必过定点.
故答案为:定点坐标是 和
.
【解析】(1)利用圆心到直线的距离相等求切线方程,注意直线存在的情况;
(2)先将四边形的面积表示为|PM|的函数式,通过求|PM|的最值得到四边形面积的最值;
(3)将圆的方程表示为圆系方程的形式,求出圆过定点的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解点到直线的距离公式的相关知识,掌握点到直线
的距离为:
.
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【题目】2015年一交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数,得到如下表所示的数据:
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测在2016年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到110时,可能发生的交通事故次数.
(附:,
,其中
为样本平均值)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知集合…,
…,
,对于
…,
,B=(
…,
,定义A与B的差为
…
,A与B之间的距离为
.
(Ⅰ)若,求
;
(Ⅱ)证明:对任意,有
(i),且
;
(ii)三个数中至少有一个是偶数;
(Ⅲ)对于…
…
,再定义一种A与B之间的运算,并写出两条该运算满足的性质(不需证明).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= sinωx﹣
cosωx(ω<0),若y=f(x+
)的图象与y=f(x﹣
)的图象重合,记ω的最大值为ω0 , 函数g(x)=cos(ω0x﹣
)的单调递增区间为( )
A.[﹣ π+
,﹣
+
](k∈Z)
B.[﹣ +
,
+
](k∈Z)
C.[﹣ π+2kπ,﹣
+2kπ](k∈Z)
D.[﹣ +2kπ,﹣
+2kπ](k∈Z)
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【题目】数列中,若对任意
都有
(
为常数)成立,则称
为“等差比数列”,下面对“等差比数列” 的判断:①
不可能为
;②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列 ;④通项公式为
(其中
,且
,
)的数列一定是等差比数列,其中正确的判断是( )
A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①③
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知动点P(x,y)(其中y )到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若直线l:x-y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点,求△OAB的面积.
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