Question

已知函数y=log_ax（0＜a≠1）的反函数y=f^-1（x），给出关于f（x）与f^-1（x）的四个命题：其中正确命题的序号是

①②③

．
①两个函数必有相同的单调性；
②当a＞1时，两个函数的图象没有交点；
③若两个函数的图象有交点，交点一定在y=x上；
④两个函数图象有交点的充分不必要条件为0＜a＜1．

Answer 1

分析：根据指数函数和同底的对数函数的单调性与底数的关系，可以判断①的真假；根据a＞1时，数函数和同底的对数函数的图象，可以判断②的真假；根据当0＜a＜1时，数函数和同底的对数函数的图象，可以判断③的真假；根据③中结论，结合充要条件的定义，可以判断④的真假；进而得到答案．

解答：解：∵函数y=log_ax（0＜a≠1）的反函数y=f^-1（x）=a^x，
∴当a＞1时，原函数和反函数均为增函数，当0＜a＜1时，原函数和反函数均为减函数，
故①两个函数必有相同的单调性正确；
当a＞1时，函数y=log_ax（0＜a≠1）与函数y=a^x的图象分别位置直线y=x两侧，
故两个函数的图象没有交点，故②正确；
当0＜a＜1时，函数y=log_ax（0＜a≠1）与函数y=a^x的图象交于直线y=x上一点
故③若两个函数的图象有交点，交点一定在y=x上正确；
两个函数图象有交点的充要条件为0＜a＜1，故④错误
故答案为：①②③

点评：本题考查的知识点是反函数，指数函数和对数函数的图象和性质，其中熟练掌握同底的指数和对数函数的图象和性质是解答本题的关键．