Question

8．已知函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$．
（1）求函数的定义域，值域；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据根式函数的性质即可求出函数的定义域和值域；
（2）利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）由-x²-3x+4≥0，
即x²+3x-4≤0，解得-4≤x≤1，即函数的定义域为[-4，1]，
设u=-x²-3x+4，
则u=-x²-3x+4=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
则0≤u≤$\frac{25}{4}$，则0≤$\sqrt{u}$≤$\frac{5}{2}$，
则（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{5}{2}}$≤（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{u}}$≤1，
即$\frac{\sqrt{2}}{8}$≤（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{u}}$≤1，
即函数的值域为[$\frac{\sqrt{2}}{8}$，1]．
（2）设t=$\sqrt{u}$，则y=（$\frac{1}{2}$）^t为减函数，
函数u=-x²-3x+4的对称轴为x=-$\frac{3}{2}$，抛物线开口向下，
当-$\frac{3}{2}$≤x≤1时，函数u=-x²-3x+4为减函数，t=$\sqrt{u}$=$\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}$为减函数，则此时函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$的单调递减，即函数单调递增区间为[-$\frac{3}{2}$，1]，
当-4≤x≤-$\frac{3}{2}$时，函数u=-x²-3x+4为增函数，t=$\sqrt{u}$=$\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}$为增函数，则此时函数y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{{-x}^{2}-3x+4}}$的单调递减，即函数单调递减区间为[-4，-$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查函数定义域，值域以及单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．