Question

13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c=1，∠C=$\frac{π}{3}$．
（1）若cos（θ+C）=-$\frac{12}{13}$，0＜θ＜π，求cosθ的值；
（2）若sinC+sin（A-B）=2sin2B，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用cos（θ+C）=-$\frac{12}{13}$，0＜θ＜π，求出sin（θ+C），利用cosθ=cos（θ+C-C），求cosθ的值；
（2）若sinC+sin（A-B）=2sin2B，求出B，即可求△ABC的面积

解答 解：（1）∵0＜θ＜π，∠C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ+C＜$\frac{4}{3}$π，
∵cos（θ+C）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（θ+C）=±$\frac{5}{13}$，
∴cosθ=cos（θ+C-C）=$\frac{1}{2}$cos（θ+C）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（θ+C）=$\frac{-12±5\sqrt{3}}{26}$；
（2）∵sinC+sin（A-B）=2sin2B，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin（$\frac{2π}{3}$-2B）=2sin2B，
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴B=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查差角的余弦公式，考查三角形面积的计算，考查辅助角公式的运用，属于中档题．