Question

3．已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）对称；②对于x∈R，$f（\frac{3}{4}-x）=f（\frac{3}{4}+x）$；③当$x∈（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$时，f（x）=log₂（-3x+1），则f（2012）=2．

Answer 1

分析 由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可得f（x）为奇函数，由②得出f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数．再结合③即可求出f（2012）的值．

解答 解：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）对任何x都成立，即f（x）为奇函数．
由②得出f（-x）=f（$\frac{3}{2}$+x）∴f（$\frac{3}{2}$+x）=-f（x），
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数．
则f（2012）=f（2）=f（-1）=log₂4=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的对称性与周期性的性质，知识性较强．解答的关键是由函数的对称性得出函数的周期性，属于中档题．