Question

8．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且同时满足下面两个条件：
①对正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）；②f$（\frac{1}{2}）$=1．
（1）求f（1）和f（4）的值；
（2）求满足f（x）+f（5-x）＞-2的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（1）和f（4）的值；
（2）根据抽象函数的关系将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：（1）∵对正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1⇒f（1）=0；
令x=2，y=$\frac{1}{2}$⇒f（1）=f（2）+f（$\frac{1}{2}$），
∴f（2）=-1，
再令x=y=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∴f（1）=0，f（4）=-2．
（2）∵f（x）+f（5-x）=f（5x-x²），
其中，$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 5-x＞0\end{array}\right.$，又-2=f（4），
∴原不等式化为：f（5x-x²）＞f（4），
又f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ 5-x＞0\\ 5x-{x}^{2}＜4\end{array}\right.$，
∴0＜x＜1或4＜x＜5，
∴不等式解集为：（0，1）∪（4，5）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法．