Question

18．已知函数y=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω的值及该函数的对称轴方程；
（Ⅱ）该函数的图象可由y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换可以得到？
（Ⅲ）求函数在$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦函数的周期性求得ω，再利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称轴方程．
（Ⅱ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数在$[0，\frac{π}{2}]$上的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数y=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1，
故y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（Ⅱ）由y=sin2x（x∈R）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，可得y=2sin2（x-$\frac{π}{12}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象向上平移$\frac{1}{2}$个单位，可得 y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的图象．
（Ⅲ）x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，故y∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．