Question

6．在边长为6的正三角形ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=-6．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用向量的数量积运算及加减法运算把$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{BE}$用基底$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}$表示，则答案可求．

解答 解：如图，∵$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CE}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{6}|\overrightarrow{BC}{|}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$
=$-\frac{1}{2}×36+\frac{1}{6}×36+\frac{1}{3}×6×6×cos60°$
=-12+6=-6．
故答案为：-6．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法，关键是把要求数量积的两个向量用一组基底表示，是中档题．