Question

16．已知命题p：函数y=（a-1）^x在R上单调递增；命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意的实数x恒成立，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q成立的等价条件，利用p∨q为真，p∧q为假，确定实数a的取值范围

解答 解：若函数函数y=（a-1）^x在R上单调递增，根据指数函数的单调性可知a-1＞1，即p：a＞2．
若不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，
当a=2时，不等式等价为-4＜0，成立．
当a≠0时，要使不等式恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2，
综上：-2＜a≤2，即q：-2＜a≤2，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p，q一真一假，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{-2＜a≤2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤2．
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a≤-2，或a＞2}\end{array}\right.$，解得a＞2．
综上：实数a的取值范围是（-2，+∞）．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．