Question

8．已知：函数f（x）=$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$．
（Ⅰ）求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值；
（Ⅱ）用分析法证明：f（x）＜f（x-2）（x≥3）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接代入求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值；
（Ⅱ）利用分析法，寻找使不等式成立的充分条件．

解答 （Ⅰ）解：f（1）+f（2）+…+f（2015）=$\sqrt{1}-\sqrt{0}$+$\sqrt{2}-\sqrt{1}$+…+$\sqrt{2015}-\sqrt{2014}$=$\sqrt{2015}$；
（Ⅱ）证明：要证明$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$＜$\sqrt{x-2}$-$\sqrt{x-3}$，
只要证明$\sqrt{x}$+$\sqrt{x-3}$＜$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{x-2}$，
只要证明$\sqrt{x（x-3）}$$\sqrt{（x-1）（x-2）}$，
只要证明x²-3x＜x²-3x+2，
只要证明0＜2，显然成立，
∴$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-1}$＜$\sqrt{x-2}$-$\sqrt{x-3}$，
即f（x）＜f（x-2）（x≥3）．

点评 本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．