Question

9．若$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，则向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 把已知的等式两边平方可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，设向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为θ，可得$cosθ=\frac{1}{2}$，则答案可求．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，两边平方可得，
${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，
化简可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
设向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为θ，
则可得cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，故θ=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查数量积表示两个向量的夹角，是基础的计算题．