Question

已知函数f(x)=

x

1-|x|

，分别给出下面几个结论，其中正确结论的序号有

①②③④

．
①f（x）是奇函数；
②函数f（x）的值域为R；
③函数g（x）=f（x）+x有三个零点；
④当x₁，x₂∈（-∞，-1），且x₁≠x₂，则 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立．

Answer 1

分析：①利用奇函数的定义进行验证f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）；②当x＞0时，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

，可求其值域，由①知当x＜0时，可求f（x）值域，x=0时，f（x）=0，从而即可判断；③由图象知f（x）的图象与y=-x有三个交点，故可判断；④根据 

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)体现在图象是表示图象是下凹的，结合函数的图象进行判断即可．

解答：解：①f（-x）=

-x

1-|-x|

=-f（x）∴正确；
②当x＞0时，f（x）=

x

1-x

=-1+

1

1-x

∈（0，+∞）∪（-∞，-1）
由①知当x＜0时，f（x）=

x

x+1

∈（1，+∞）∪（-∞，0）
x=0时，f（x）=0
∴函数 f （x） 的值域为R，故正确；
③由图象知f（x）的图象与y=-x有三个交点，原点及第二、四象限各一个，
∴函数g（x）=f（x）+x有三个零点，故正确．
④

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)体现在图象是表示图象是下凹的，结合函数在（-∞，-1）上的图象，其是下凹的，故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题综合考查函数的图象、性质及函数的零点，注意数形结合思想和函数与方程思想的应用．属中档题