Question

【题目】已知函数 ,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

利用导数求函数f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．

解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，

∴f（x）min＝f（0）＝1．

对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），

即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，

函数g（x）＝x2﹣bx+4的对称轴为x＝．

当≤3，即b≤6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，

由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；

当≥4，即b≥8时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，

由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥8；

当3＜＜4，即6＜b＜8时，g（x）在（3，4）上先减后增，，

由≤1，解得或b，∴6＜b＜8．

综上，实数b的取值范围为[4，+∞）．

故答案为：[4，+∞）．