Question

【题目】若对任意实数都有函数的图象与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知函数为“恒切函数”，

①求实数的取值范围；

②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）①设切点为，求出，设，根据函数的单调性求出故实数的取值范围为；②当取最大值时，，，，，，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，，根据函数的单调性证明即可.

详解：（1）.当时，恒成立，函数在上单调递减；

当时，得，由得，由得，

得函数在上单调递减，在上递增.

（2）①若函数为“恒切函数”，则函数的图象与直线相切，

设切点为，则且，即，.

因为函数为“恒切函数”，所以存在，使得，，即，得，，设.

则，，得，得，

故在上单调递增，在上单调递减，从而

故实数的取值范围为.

②当取最大值时，，，，，

，因为函数也为“恒切函数”，故存在，使得，，由得，，设，

则，得，得，

故在上单调递减，在上单调递增，

1.在单调递增区间上，，故，由，得；

2. 在单调递增区间上，，

，又的图象在上不间断，

故在区间上存在唯一的，使得，故.

此时由，得，

函数在上递增，，，故.

综上所述，.