Question

【题目】(2016·重庆高二检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点.

(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC.

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）1:1

【解析】试题分析：（1）由题意易证平面，再由面面垂直的判定定理即可得平面平面；（2）设棱锥的体积为，易求，三棱柱的体积为，于是可得，从而得到答案．

试题解析：（1）证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，

所以BC⊥平面ACC1A1．

又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．

又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．

又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．

（2）设棱锥B—DACC1的体积为V1，AC＝1．

由题意得V1＝××1×1＝．

又三棱柱ABC—A1B1C1的体积V＝1，

所以（V－V1）∶V1＝1∶1．

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1．