Question

【题目】某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试.

（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为，求的分布列和数学期望；

（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），分布列见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定随机变量所有可能取值,再分别求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望,（Ⅱ）按2016年时用过的题库分类讨论: 2016年期末考试时取到0个新题库时,2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率; 2016年期末考试时取到1个新题库时,2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率; 2016年期末考试时取到2个新题库时,2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率;再根据2016年期末考试时取到个新题库对应概率可得所求概率为.

试题解析：（Ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，

设“2016年期末考试时取到个新题库（即）”为事件．

又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，

所以；

；

，

所以的分布列为

的数学期望为．

（Ⅱ）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件，

则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件，而事件互斥，

所以

．

所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为．