Question

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.

Answer 1

⑵由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.

因此所求的的取值范围是.                   (7分)

⑶结论：这样的最小正常数存在.  解释如下：

.

构造函数，则问题就是要求恒成立.         (9分)

对于求导得 .

令，则，显然是减函数.

又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而，    

，.

    所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.

    题目要找的，理由是：

    当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明；

    当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小.

    综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立.    (12分)

( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：

令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）