Question

已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）讨论f（x）的奇偶性与单调性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值；
（3）设f（x）的反函数为f^-1（x），若关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由对数的意义可求得其定义域为（-1，1），利用奇函数的定义即可判断f（x）为奇函数；
（2）将f（x）=loga

1+x

1-x

化简为：f（x）=loga(-1-

2

x-1

)，对底数a分类讨论，利用复合函数“同增异减”的原理即可判断其单调性；
（3）利用互为反函数的两个函数定义域与值域互换的性质（已知原函数f（x）的定义域即为其反函数f^-1（x）的值域）即可求m的取值范围．

解答：解：（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，
∴f（x）定义域为x∈（-1，1）；
又f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∵f（x）=loga

1+x

1-x

=loga

2-(1-x)

1-x

=loga(-1-

2

x-1

)，又g（x）=-

2

x-1

-1在（-1，1）上单调递增，由复合函数“同增异减”的原理得：
①当a＞1时，在定义域内为增函数；
②当0＜a＜1时，在定义域内为减函数；
（2）①当a＞1时，∵f（x）在定义域内为增函数且为奇函数，
∴命题?f（

1

2

）=2，得log_a3=2，
∴a=

3

；
②当0＜a＜1时，∵f（x）在定义域内为减函数且为奇函数，
∴命题?f（

1

2

）=2，得loga

1

3

=2，
∴a=

3

3

；
（3）∵f^-1（x）的值域为（-1，1），
∴关于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解的充要条件是m＞-1．
∴m＞-1．

点评：本题考查对数函数图象与性质的综合应用，考查奇偶性与单调性的综合，突出考查反函数的性质及其应用，考查化归思想、分类讨论思想与方程思想的综合运用，属于难题．