Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l，则

1

2012

2012

i=1

(ai+bi)的值是

2014

．

Answer 1

分析：先求出b₂的值，然后分别判定数列{a_n}，{b_n}的特征，然后利用求和公式分别求出两数列的和，将2012代入求出所求即可．

解答：解：∵对任意的正整数m，n，p，q，当m+n=p+q时，都有a_m+b_n=a_p+b_q，
∴a₂+b₁=a₁+b₂，将a₁=1，a₂=2，b₁=2，代入可得b₂=3
∵1+（n+1）=2+n
∴a₁+b_n+1=a₂+b_n，即b_n+1-b_n=1
∴数列{b_n}是等差数列首项为1，公差为1，则T_n=

1

2

n(n+1)
∵（n+1）+1=n+2
∴a_n+1+b₁=a_n+b₂ 则a_n+1-a_n=1
∴数列{a_n}是等差数列首项为2，公差为1，则S_n=

1

2

(3+n)n
∴

1

2012

2012

i=1

(ai+bi)=S2012+T2012=

1

2012

（1006×2015+1006+2013）=2014
故答案为：2014

点评：本题主要考查了数列的求和，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题