Question

已知函数|f(x)|=|x|

2-x2

的最大值为M，g（x）=x²-（2a+1）x+a²+M，a∈R．
（1）求M的值；
（2）解关于x的不等式g（x）＞x．

Answer 1

分析：（1）把|x|平方后，放入根号里边，配方得到一个完全平方式，根据完全平方式大于等于0求出函数的最大值得到M；
（2）M=1代入g（x）的解析式中，将g（x）代入不等式化简配方得到[x-（a+1）]²＞2a，分三种情况讨论a大于0小于0等于0时，分别得到不等式的解集；

解答：解：（1）|f（x）|=|x|

2-x2

=

2x2-x4

=

-(x2-1)2+1

，
∴M=1
（2）M=1，∴g（x）＞x可化为x²-2（a+1）x+a²+1＞0即[x-（a+1）]²＞2a，
若a＜0，则x∈R；
若a=0，则x≠1；
若a＞0，则|x-（a+1）|＞

2a

∴x＞a+

2a

+1或x＜a-

2a

+1

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．考查学生会利用配方求函数的最值，利用配方解一元二次不等式．