Question

试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

已知：点AÏ 平面α．

求证：过A有且只有一个平面β∥α．

Answer 1

答案：略
解析：

证明：在平面α内任作两条相交直线a和b，则由AÏ α知，AÏ a，AÏ b．点A和直线a可确定一个平面，点A和直线b可确定一个平面．在平面、内过A分别作直线，故是两条相交直线，可确定一个平面β． ∵，∴．同理． 又，∴β∥α． ∴过点A有一个平面β∥α． 假设过A点还有一个平面γ∥α， 则在平面α内取一直线c，AÏ ，点A、直线c确定一个平面ρ，由公理2知： β∩ρ=m，γ∩ρ=n，∴m∥c，n∥c，从而有m∥n．又A∈m，A∈n， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，∴平面β只有一个． ∴过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． “有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是唯一的，两者缺一不可．