Question

试证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．

Answer 1

答案：略
解析：

“有且只有”要准确理解．要先证这样的平面是存在的．再证它是唯一的，缺一不可． 已知：点AÎ 平面α， 求证：过点A有且只有一个平面β∥α． 证明：(存在性)在平面α内任作两条相交直线a和b． 由则知． 点A和直线a可确定一个平面M． 点A和直线b可确定一个平面N． 在平面M、N内过A分别作直线∥a，∥b．故，是两条相交直线． 可确定一个平面β． ∵α，aα，∥a，∴∥α． 同理∥α． 又β，β，∩=A， ∴β∥α． 所以过点A有一个平面β∥α． (唯一性)假设过点A还有一个平面γ∥α．则在平面α内取一直线c，点A，直线c确定一个平面M． 由公理3知β∩M=m，γ∩M=n， ∴m∥c，n∥c． 又AÎ m，AÎ n， 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行，相矛盾． 因此假设不成立． 所以平面β只有一个． 所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (1)命题形式的证明通常要写出已知、求证，然后证明．(2)唯一性的证明常常使用反证法．