Question

试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.

已知:点A平面α.

求证:过A有且只有一个平面β∥α.

Answer 1

解析:“有且只有”要准确理解,要先证这样的平面是存在的,再证它是唯一的,缺一不可.

证明:在平面α内任作两条相交直线a和b,则由Aα,知Aa,Ab.点A和直线a可确定一个平面M,点A和直线b可确定一个平面N.在平面M、N内过A分别作直线a′∥a、b′∥b,故a′、b′是两条相交直线,可确定一个平面β.

∵a′α,aα,a′∥a,∴a′∥α.

同理,b′∥α.

又α′β,b′β,a′∩b′=A,∴β∥α.

∴过点A有一个平面β∥α.

假设过A点还有一个平面γ∥α,

则在平面α内取一直线c,Ac,点A、直线c确定一个平面ρ,由公理2知

β∩ρ=m,γ∩ρ=n,

∴m∥c,n∥c.

又A∈m,A∈n,

这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,因此假设不成立,∴平面β只有一个.

∴过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

小结:这种“只有一个”的问题的证明,常采用反证法.