Question

20．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．
求证：（1）PC∥平面DEF；
         （2）平面PBC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；
（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC⊥平面PBD．

解答 证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，
∴PC∥EF，
又PC?平面DEF，EF?平面DEF，
∴PC∥平面DEF．
（2）取CD的中点M，连结BM，
则AB$\stackrel{∥}{=}$DM，又AD⊥AB，AB=AD，
∴四边形ABMD是正方形，
∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．