Question

12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，△ABC的面积为10$\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}b$=2a•sinB．
（1）求A的大小；
（2）若a=7，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinB=2sinA•sinB，结合sinB＞0，可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．结合A是锐角，即可求得A的值．
（2）由S=10$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsin60°，可求bc=40，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos60°，化简即可求b+c的值．

解答 （本题满分14分）
解：（1）∵$\sqrt{3}b$=2a•sinB，由正弦定理知$\sqrt{3}$sinB=2sinA•sinB，…（2分）
∵B是三角形的内角，∴sinB＞0，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（4分）
∴A=60°或120°．…（6分）
∵A是锐角，∴A=60°．…（7分）
（2）∵S=10$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsin60°=10$\sqrt{3}$，则bc=40，…（10分）
又∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos60°，
∴（b+c）²=a²+3bc=169，…（12分）
所以b+c=13．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．