Question

20．各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项的和为S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）记T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$可知公差和首项，进而可得结论；
（2）通过a_n=n+1，裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比数列
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得：d=1或d=0，
又∵等差数列{a_n}的各项均不相等，
∴d=1，a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1，
S_n=$\frac{n[2+（n+1）]}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{2}$；
（2）∵a_n=n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+$…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．