Question

4．已知cosx=-$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，x∈（π，\frac{3}{2}π）$
（Ⅰ） 求sin2x的值；
（Ⅱ） 求$tan（x+\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinx的值，再利用二倍角公式求得sin2x的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得tanx的值，再利用两角和的正切公式，求得$tan（x+\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：（Ⅰ） 因为$cosx=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，x∈（π，\frac{3}{2}π）$，所以sinx＜0，
由sin²x+cos²x=1，得$sinx=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴$sin2x=2sinxcosx=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{2}$，
所以$tan（x+\frac{π}{4}）=\frac{{tanx+tan\frac{π}{4}}}{{1-tanxtan\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{1}{2}+1}}{{1-\frac{1}{2}}}=3$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正切公式，属于基础题．