Question

函数.

（1）若，函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）设，若对任意恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可得，当时，在区间上是单调递增函数等价于对于任意的，（不妨），恒成立，从而将问题转化为

在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有实数的取值范围是；（2）由题意分析可得问题等价于在上，，从而可将问题转化为在上，求二次函数

的最大值与最小值，因此需要对二次函数的对称轴分以下四种情况讨论：①当，即；②当，即；③当，即；④当，即，结合二次函数的图像和性质，可分别得到在以上四种情况下的最大值与最小值，从而可得实数的取值范围是.

试题解析：（1）时，，

任设，， ..2分

，

∵函数在上是单调递增函数，∴恒有，..........3分

∴恒有，即恒有， .4分

当时，，∴，∴，即实数的取值范围是 ..6分

（2）当时，

对任意有恒成立等价于在上的最大值与最小值之差 ..7分

当，即时，在上单调递增，

∴，，∴，与题设矛盾； ..9分

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，∴恒成立，

即有， ..11分

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，

∴恒成立，∴； .13分

当，即时，在上单调递减，

∴，，∴，与题设矛盾， .15分

综上所述，实数的取值范围是． 16分

考点：1.恒成立问题的处理方法；2.二次函数的值域；3.分类讨论的数学思想.