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已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞）， $数学公式$ ．
（Ⅲ）设g（x）= $数学公式$ ，h（x）=（x²+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜ $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：设x＞0，则 $\text{[math]}$
∵2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，①
∴2f（ $\text{[math]}$ ）+f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x= $\text{[math]}$
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞ $\text{[math]}$ ；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜ $\text{[math]}$
∴函数在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增
∴x= $\text{[math]}$ 时，函数取得最小值- $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）证明：构造函数 $\text{[math]}$ ，则F′（x）=- $\text{[math]}$
∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递减
∴F（x）＜F（0）=0
∴?x∈（0，+∞）， $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）证明：∵g（x）= $\text{[math]}$ ，∴g′（x）= $\text{[math]}$
∴h（x）=（x²+x）g′（x）= $\text{[math]}$ （1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，则p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜ $\text{[math]}$ ；由p′（x）＜0，可得x＞ $\text{[math]}$ ，
∴函数p（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减
∴x= $\text{[math]}$ 时，p（x）取得最大值1+ $\text{[math]}$
∵1+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴h（x）＜ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设x＞0，则 $\text{[math]}$ ，利用2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，可得2f（ $\text{[math]}$ ）+f（x）=（x- $\text{[math]}$ ）lnx，由此可得函数解析式，求导函数确定函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（Ⅱ）构造函数 $\text{[math]}$ ，证明函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，即可证得结论；
（Ⅲ）h（x）=（x²+x）g′（x）= $\text{[math]}$ （1-x-xlnx），证明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+ $\text{[math]}$ ，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性．

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已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

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x-1

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4018

．

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）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又数列{a_n}满足：a₁=

，a_n+1=

2an

．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（a_n）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（a_n）且数列{a_n}满足b_n=

g(n)

，若对于任意n∈N⁺，都有b₁+b₂+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

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已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=

f(x)

，已知f（11）=1，则f（2013）=

．

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已知函数f（x）定义域为（0，+∞），且满足2f（x）+f（）=．（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；（Ⅱ）求证：?x∈（0，+∞），．（Ⅲ）设g（x）=，h（x）=（x2+x）g′（x）．求证：：?x∈（0，+∞），h（x）＜．