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    【题目】如图所示,已知在矩形中,,,平面,且.

    （1）问当实数在什么范围时,边上能存在点,使得？

    （2）当边上有且仅有一个点使得时,求二面角的余弦值大小.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）建立坐标系,设点,则,,由,可得,显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,,即可求得的范围.

    （2）求平面的一个法向量是和平面的一个法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.

    （1）以为坐标原点,、、分别为、、轴建立坐标系如图所示:

    ,,

    ,,.

    设点,则,.

    由,得.

    显然当该方程有非负实数解时,边上才存在点,使得,

    故只须.

    ,故的取值范围为.

    （2）易见,当时,上仅有一点满足题意,

    此时,即为的中点,

    得:,,.

    设平面的一个法向量是,

    则,,

    ,,

    ,取,,,所以.

    又平面的一个法向量是.

    ,

    二面角的余弦值为.

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