Question

【题目】如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.

（1）证明：平面；

（2）若,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．

（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．

（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，

所以，因为，所以，

又因为，，所以平面，

所以，又因为，所以是中点，

取中点，连结，，因为是的中点，则且，

所以且，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

（图1） （图2）

（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，

则，.在中，，所以.

在中，，所以，

由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，.

所以，则，，

设平面的法向量为，

则即

取得.故平面的一个法向量为，

因为平面的一个法向量为，

则.

因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.