Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；

（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；

（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．

（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，

设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），

所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，

所以点P的直角坐标为（1，1）．

（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，

因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，

则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，

依题意，点M对应的参数为，

所以|PM|＝||．