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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
    （1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
    （2）若对?x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    成立．
    （3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件①对?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数．
    （2）令g（x）=f（x）-
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，再由函数零点的判定定理可证．
    （3）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=-1，且最小值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a=c=
    1
    4
    ，b=
    1
    2
    ，最后验证即可．
    解答：解析：（1）∵f（-1）=0，
    ∴a-b+c=0，b=a+c
    ∵△=b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2
    当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；
    当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
    （2）令g(x)=f(x)-
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    ，则g(x1)=f(x1)-
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]=
    f(x1)-f(x2)
    2
    g(x2)=f(x2)-
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]=
    f(x2)-f(x1)
    2
    ，
    ∴g(x1)•g(x2)=-
    1
    4
    [f(x1)-f(x2)]2＜0，(∵f(x1)≠f(x2))
    ∴g（x）=0在（x1，x2）内必有一个实根．即?x0∈（x1，x2），使f(x0)=
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]    成立．
    （3）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=-1，且f（x）min=0
    ∴-
    b
    2a
    =-1，
    4ac-b2
    4a
    =0    ?b=2a，b2=4ac?4a2=4ac?a=c
    由②知对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
    1
    2
    (x-1)2
    令x=1得0≤f（1）-1≤0?f（1）-1=0?f（1）=1?a+b+c=1
    由
    a+b+c=1
    b=2a
    a=c
    得a=c=
    1
    4
    ，b=
    1
    2
    ，
    当a=c=
    1
    4
    ，b=
    1
    2
    时，f(x)=
    1
    4
    x2+
    1
    2
    x+
    1
    4
    =
    1
    4
    (x+1)2    ，其顶点为（-1，0）满足条件①，又f(x)-x=
    1
    4
    (x-1)2    ?对?x∈R，都有0≤f(x)-x≤
    1
    2
    (x-1)2    ，满足条件②．
    ∴存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足条件①、②．
    点评：本题主要考查函数零点的判断定理．
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    ．
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