Question

【题目】如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．
（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC= ，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBE= ，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线， 过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE
∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE⊥AG
∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，
∵BE平面PBE，
∴平面PBE⊥平面APG．
解：（II）连接PF，
∵
又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，
∴PF⊥底面ABCDE．
∴O点与F点重合．
如图，以O为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．
底面ABCDE的一个法向量
∵ ，
∴ ，
设平面ABM的法向量 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，取 则 ，
∴ ，
∵二面角的法向量 分别指向二面角的内外， 即为二面角的平面角，
∴cos＜ ＞ = = ．
∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE，推导出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能证明平面PBE⊥平面APG．（II）连接PF，推导出O点与F点重合，以O为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．