Question

【题目】已知向量 =（﹣2sin（π﹣x），cosx）， =（ cosx，2sin（ ﹣x）），函数f（x）=1﹣ ．
（1）若x∈[0， ]，求函数f（x）的值域；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意： =（﹣2sin（π﹣x），cosx）， =（ cosx，2sin（ ﹣x）），

函数f（x）=1﹣

=1+2 cosxsin（π﹣x）﹣2cosxsin（ ﹣x）

=1+2 sinxcosx﹣2cos2x

=1+ sin2x﹣1﹣cos2x

= sin2x﹣cos2x

=2sin（2x﹣ ），

当x∈[0， ]时，2x- ∈[- ， ]，

当x=- 时，f（x）取值最小值为﹣1，

当x= 时，f（x）取得最大值为2，

所以函数f（x）的值域为[﹣1，2]

（2）解：由（1）可得f（x）=2sin（2x﹣ ），

由正弦函数图象及性质可知：单调递增区间为[ ， ]（k∈Z）．

即 ≤ （k∈Z）．

解得： （k∈Z）．

又∵x∈[0，π]

当k=0时，可得： ．

当k=1时，可得： ．

∴f（x）的单调递增区间为[0， ]和[ ，π]

【解析】（1）利用向量的乘积运算求出f（x）的解析式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在求解x∈[0， ]，函数f（x）的最值，即可得值域．（2）当x∈[0，π]时，求出内层函数的范围，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；求f（x）的单调递增区间．