Question

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数列（a，b）．
（1）若P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，列举出所有的数对（a，b），并求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）若P={x|1≤x≤3，x∈R}，Q={x|-1≤x≤4，x∈R}，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有15种情况，又因为函数y=f（x）有零点，所以根的判别式大于等于零得到a=2b²，而a=2b²占2种情况，所以即可求得函数y=f（x）有零点的概率；
（2）本小题是一个几何概型的概率问题，先根据函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，利用几何概型计算公式得到结果．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）有零点，则△=b²-4a≥0即4a≤b²
如图，4a≤b²包含6个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），∴事件4a≤b²包含基本事件的个数是6个，而P={x|1≤x≤3，x∈Z}，Q={x|-1≤x≤4，x∈Z}，包含3×6个点，
∴所求事件的概率为

6

3×6

=

1

3

；
（2）函数f（x）=ax²-bx+1的图象的对称轴为x=

b

2a

，
当且仅当b≤2a且a＞0时，
函数f（x）=ax²-bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为；
P={x|1≤a≤3，x∈R}，Q={x|-1≤b≤4，x∈R}，
构成所求事件的区域为长方形部分．
而{（a，b）|1≤a≤3，-1≤b≤4，b≤2a且a＞0}包含的区域为图中的阴影部分．
∴所求事件的概率为P=

S阴影

S长方形

=

2×5- 1 2 ×1×2

2×5

=

9

10

．

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．