Question

7．关于x的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个正根，一个负根的充要条件是ac＜0．

Answer 1

分析 根据韦达定理，先判断出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac＜0”成立，反之再由韦达定理，判断出“ac＜0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到结论．

解答 解：若“一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根”成立，
由韦达定理可得，x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜0，
所以ac＜0成立，
反之，若“ac＜0”成立，
此时一元二次方程ax²+bx+c=0的△＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得，x₁x₂=$\frac{c}{a}$＜0，
即方程两个根的符号相反，
即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根
所以“一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根”是“ac＜0”的充要条件，
故答案为：ac＜0．

点评 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次方程根的个数与△符号的关系，及韦达定理，其中分别判断命题A⇒命题B与命题B⇒命题A的真假，是解答本题的关键．