Question

18．已知集合A={x|x＜0}，B={z|z=$\frac{{m}^{2}x-1}{mx+1}$，x＞2}，B≠∅，且B⊆A，则实数m的取值范围是{m|m≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或m=0}．

Answer 1

分析 由已知条件便知$\frac{{m}^{2}x-1}{mx+1}＜0$对任意的x＞2恒成立，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＞\frac{1}{x}}\\{m＜-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＜\frac{1}{x}}\\{m＞-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$对任意的x＞2恒成立．这时候可求出$\frac{1}{x}$和$-\frac{1}{x}$的范围，这样便可建立关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．

解答 解：根据条件，$\frac{{m}^{2}x-1}{mx+1}＜0$对任意的x＞2恒成立；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}x-1＞0}\\{mx+1＜0}\end{array}\right.$恒成立，或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}x-1＜0}\\{mx+1＞0}\end{array}\right.$恒成立；
∵x＞2；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＞\frac{1}{x}}\\{m＜-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$（1），或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＜\frac{1}{x}}\\{m＞-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$（2）；
∵x＞2；
∴$0＜\frac{1}{x}＜\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{x}＜0$；
∴由（1）得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}≥\frac{1}{2}}\\{m≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$m≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
由（2）得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}≤0}\\{m≥0}\end{array}\right.$，解得m=0；
∴实数m的取值范围为{m|$m≤-\frac{\sqrt{2}}{2}，或m=0$}．
故答案为：$\{m|m≤-\frac{\sqrt{2}}{2}，或m=0\}$．

点评 考查描述法表示集合，子集的定义，元素与集合的关系，以及解分式不等式，注意不等式恒成立问题的方法..