Question

8．求最值：y=t+$\frac{1}{t}$．

Answer 1

分析 求导数y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，通过解不等式y′＞0，y′＜0可得函数的单调区间，由单调性可得结论．

解答 解：∵y=t+$\frac{1}{t}$，∴y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
当0＜t＜1时，y′＜0，函数单调递减，当t＞1时，y′＞0，函数单调递增；
当t＜-1时，y′＞0，函数单调递增，-1＜t＜0时，y′＜0，函数单调递减；
∴函数y=t+$\frac{1}{t}$在（-∞，-1）上递增，在（-1，0）上递减，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴y=t+$\frac{1}{t}$≤-2，或y=t+$\frac{1}{t}$≥2，
故函数的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故函数无最大值，也无最小值．

点评 本题考查函数单调性的判断及证明，考查函数思想，属中档题．