Question

18．已知△ABC的重心G（$\frac{13}{6}$，-2），AB中点D（-$\frac{5}{4}$，-1），BC中点E（$\frac{11}{4}$，-4），则A、B、C三点坐标分别为（1，2）、B（$-\frac{7}{2}，-4$）、C（9，-4）．

Answer 1

分析 分别设出A、B、C三点坐标，求出所用向量的坐标，然后利用三角形重心的性质得到向量的关系，由向量的坐标相等求得A、C的坐标，由中点坐标公式求出AC中点坐标，进一步由向量的坐标相等求得B的坐标．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵G为△ABC的重心，D为AB中点，E为BC中点，
∴$\overrightarrow{EA}=3\overrightarrow{EG}$，$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}$，
∵D（-$\frac{5}{4}$，-1），E（$\frac{11}{4}$，-4），G（$\frac{13}{6}$，-2），
∴$\overrightarrow{EA}=（{x}_{1}-\frac{11}{4}，{y}_{1}+4）$，$\overrightarrow{EG}=（-\frac{7}{12}，2）$，$\overrightarrow{DC}=（{x}_{3}+\frac{5}{4}，{y}_{3}+1）$，$\overrightarrow{DG}=（\frac{41}{12}，-1）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-\frac{11}{4}=-\frac{7}{4}}\\{{y}_{1}+4=6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，即A（1，2）；
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}+\frac{5}{4}=\frac{41}{4}}\\{{y}_{3}+1=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=9}\\{{y}_{3}=-4}\end{array}\right.$，即C（9，-4）；
则AC中点F（5，-1），
∴$\overrightarrow{FB}=（{x}_{2}-5，{y}_{2}+1）$，$\overrightarrow{FG}=（-\frac{17}{6}，-1）$，
又$\overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FG}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-5=-\frac{17}{2}}\\{{y}_{2}+1=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{7}{2}}\\{{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$，即B（$-\frac{7}{2}，-4$）．
∴A、B、C三点坐标分别为（1，2）、B（$-\frac{7}{2}，-4$）、C（9，-4）．
故答案为：（1，2）、B（$-\frac{7}{2}，-4$）、C（9，-4）．

点评 本题考查中点坐标公式的应用，考查了利用向量的坐标运算求点的坐标，熟记三角形重心的性质是关键，是基础题．