Question

7．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设函数h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，求函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率；
（2）先求出h（x）的导数，根据h′（x）＞0求得的区间是单调增区间，h′（x）＜0求得的区间是单调减区间，从而问题解决．

解答 解：（1）∵当a=2时，f（x）=x-2lnx（a∈R），
∴f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=1，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0；
（2）∵h（x）=f（x）+$\frac{1+a}{x}$，
∴h′（x）=$\frac{（x+1）[x-（1+a）]}{{x}^{2}}$，
∴a＞-2时，h′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1+a，h′（x）＜0，可得-1＜x＜1+a，
∴函数的单调增区间是（-∞，-1），（1+a，+∞）；单调减区间是（-1，1+a）；
a=-2时，h′（x）≥0，∴函数的单调增区间是（0，+∞）；
a＜-2时，h′（x）＞0，可得x＜1+a或x＞-1，h′（x）＜0，可得1+a＜x＜-1，
∴函数的单调增区间是（0，1+a），（-1，+∞）；单调减区间是（1+a，-1）．

点评 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于中档题．