Question

10．利用函数单调性定义证明：（1）f（x）=-x²+1在（-∞，0]上是增函数；
（2）判断函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的单调性，并求它在x∈[2，6]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=-x²+1，利用函数的单调性的定义证明f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的单调递减，即可求它在x∈[2，6]上的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-x²+1，设0≥x₂＞x₁，
f（x₂）-f（x₁）=（-x₂²+1）-（-x₁²+1）=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
而由题设可知x₁-x₂＜0，x₂+x₁＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在（-∞，0]上是增函数．
（2）函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在（1，+∞）的单调递减，
∵x∈[2，6]，∴函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$在x∈[2，6]上的单调递减，
∴最大值f（2）=2，最小值f（6）=$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查函数的单调性的定义及证明方法，分式函数在闭区间上的最值，属于中档题．