Question

17．已知函数f（x）=x³-4x²+5x-4．
（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出导函数f′（x），根据导数的几何意义可知，切线的斜率为f′（2），又切点在函数f（x）上，求出切点的坐标，根据直线的点斜式方程写出函数f（x）在x=2处的切线方程；
（2）设切点坐标为P（a，a³-4a²+5a-4），根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，而点A（2，-2）在切线上，列出关于a的方程，求解a，即可得到曲线的切线方程．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-4x²+5x-4，
∴f′（x）=3x²-8x+5，
根据导数的几何意义，则曲线f（x）在x=2处的切线的斜率为f′（2）=1，
又切点坐标为（2，-2），
由点斜式可得切线方程为y-（-2）=1×（x-2），即x-y-4=0，
∴求曲线f（x）在x=2处的切线方程为x-y-4=0；
（2）设切点坐标为P（a，a³-4a²+5a-4），
由（1）可知，f′（x）=3x²-8x+5，
则切线的斜率为f′（a）=3a²-8a+5，
由点斜式可得切线方程为y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根据已知，切线方程过点A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x-y-4=0，
故经过点A（2，-2）的曲线f（x）的切线方程为y+2=0或x-y-4=0．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．关于曲线的切线问题，要注意审清题中的条件是“在”点处还是“过”点，是本题问题的易错点．属于中档题．