Question

12．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=6，BC=3，CD=4，则线段AC的长为6．

Answer 1

分析 根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．

解答 解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，
根据切割线定理得到DC²=DB•DA，
∵AB=6，CD=4，
∴16=DB（DB+6）
∴DB=2，
由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{CA}$
∴AC=$\frac{8×3}{4}$=6，
故答案为：6．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．