Question

4．已知过定点P（-2，0）的直线l与曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为30°．

Answer 1

分析 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB，圆心到直线的距离d=1，即可确定直线斜率k的值．

解答 解：由y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$，得x²+y²=2（y≥0）
∴曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB，圆心到直线的距离d=1，
∴d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此时倾斜角为30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，确定△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB是关键．