Question

【题目】设分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的左顶点，点为椭圆的上顶点，且.

（1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，且在第一象限内，直线与轴相交于点，若以为直径的圆经过点，证明：点在直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意离心率以及可以建立关于，，的方程组，求得，，的值即可求解；（2）设，根据题意将，用含的代数式表示，消去参数后即可得到，所满足的关系式，从而得证．

试题解析：（1）设，由题意，得，且，得，，，

∴椭圆的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程，则，，，设，由题意知，则直线的斜率，直线的方程为，当时，，即点，直线的斜率为，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，化简得，又∵为椭圆上一点，且在第一象限内，∴，，，由①②，解得，，∴，即点在直线上．