Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}满足：Sn为数列{an}的前n项和，且2，an ， Sn成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若cn=nan ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2，an，Sn成等差数列．

∴2an=Sn+2，

∴n=1，2a1=a1+2，解得a1=2；

当n≥2时，2an﹣1=Sn﹣1+2，∴2an﹣2an﹣1=an，化为an=2an﹣1，

∴数列{an}成等比数列，首项为2，公比为2，

∴an=2n．

（2）解：cn=nan=n2n．

∴数列{cn}的前n项和Tn=2+2×22+3×22+…+n2n，

2Tn=22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n2n+1= ﹣n2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．

【解析】（1）由2，an ， Sn成等差数列．可得2an=Sn+2，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．