Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

（1）证明PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，DA平面ABCD，

∴DA⊥PA，

又∵AC⊥AD，PA∩AC=A，

∴DA⊥面PAC，

又PC面PAC，∴DA⊥PC

（2）证明：过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，

在Rt△PAC中，AM= ，

在Rt△DAM中，DM= ，

在Rt△AMD中，sin∠AMD= ．

∴二面角A﹣PC﹣D的正弦值为 ．

【解析】（1）推导出DA⊥PA，AC⊥AD，从而DA⊥面PAC，由此能证明DA⊥PC．（2）过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，由此能求出二面角A﹣PC﹣D的正弦值．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．