Question

13．如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中点，
（1）求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；
（2）求二面角C₁-B₁C-D₁的正切值．

Answer 1

分析 （1）由C₁D₁∥B₁A₁，知∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角，由此能求出异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C₁-B₁C-D₁的正切值．

解答 解：（1）因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角，
因为A₁B₁⊥平面BCC₁B，所以∠A₁B₁M=90°，
而A₁B₁=1，${B}_{1}M=\sqrt{{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}+M{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故tan∠MA₁B₁=$\frac{{B}_{1}M}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为$\sqrt{2}$．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由AB=AD=1，AA₁=2，得：
B₁（1，0，2），C（1，1，0），C₁（1，1，2），D₁（0，1，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-1，1，0），
设平面B₁CD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
平面B₁C₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角C₁-B₁C-D₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴二面角C₁-B₁C-D₁的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．