Question

4．某地区对高一年级学生的瞬时记忆能力进行调查，瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．现随机抽取某学校高一学生共40人，下表为该批学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．

视觉 听觉		视觉记忆能力
		偏低	中等	偏高	超常
听觉 记忆 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3	b
	偏高	2	a	0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为$\frac{2}{5}$．
（1）试确定a、b的值；
（2）将抽取所得学生的频率视为概率，从该地区高二年级学生中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ及方差Dξ．

Answer 1

分析 （1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人，记“视觉记忆能力恰为中等且听觉记忆能力为中等阈 中等以上”为事件A，由等可能事件概率计算公式能求出a=6，从而得到b=2．
（2）由于从40位学生中任取3位，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共有24人，故概率为$\frac{3}{5}$，从而ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出结果．

解答 解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有（10+a）人，
记“视觉记忆能力恰为中等且听觉记忆能力为中等阈 中等以上”为事件A，
则P（A）=$\frac{10+a}{40}=\frac{2}{5}$，解得a=6，
∴b=40-（32+a）=40-38=2．
∴a=6，b=2．
（2）由于从40位学生中任取3位，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共有24人，
故概率为$\frac{3}{5}$，
∴从该地区高二年级学生中任意抽取3人，
其中恰有k位学生具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3），
ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}=\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）=\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，Dξ=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．